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电路理论基础(陈希有)*题答案第二章

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答案 2.1 解:本题练*分流、分压公式。设电压、电流参考方向如图所示。 (a) 由分流公式得: 2?? 3A 2 I? ? A 2? ? R 3 解得 R ? 75? (b) 由分压公式得: R ? 3V 2 U? ? V 2? ? R 3 解得 4 R? ? 7 答案 2.2 解:电路等效如图(b)所示。
I2 ? U1 ?
1k?
5k?

20mA
20k?

+
U R

I2 20mA
20k?

3k?

_ (b)

(a) 图中等效电阻

R ? (1 ? 3)k? // 5k? ?

(1 ? 3) ? 5 20 k? ? k? 1? 3 ? 5 9

由分流公式得:

I 2 ? 20mA ?
电压

R ? 2mA R ? 20k?

U ? 20k?? I 2 ? 40V

再对图(a)使用分压公式得: 3 U1 = ? U =30V 1+3 答案 2.3 解:设 R2 与 5k? 的并联等效电阻为 R ? 5k? R3 ? 2 (1) R2 ? 5k? 由已知条件得如下联立方程:

R3 ?U 2 ? U ? R ? R ? 0.05 1 3 ? 1 ? R ? R ? R ? 40k? 1 3 ? eq
由方程(2)、(3)解得 R1 ? 38k? R3 ? 2k? 再将 R3 代入(1)式得 10 R2 ? k? 3

(2) (3)

答案 2.4 解:由并联电路分流公式,得 8? I1 ? 20mA ? ? 8mA (12 ? 8)? 6? I 2 ? 20mA ? ? 12mA (4 ? 6)? 由节点①的 KCL 得 I ? I1 ? I 2 ? 8mA ? 12mA ? ?4mA 答案 2.5 解:首先将电路化简成图(b)。
I2

270?
160?

I2 I3 120? I1

140?
10A I1 100?

?

?U ?

?
U3

10A

R2

?

U1 200?

R1

?

(a)

图 题2.5

(b)

图中
R1 ? (140 ? 100)? ? 240?

? (200 ? 160) ?120 ? R2 ? ? 270 ? ? ? 360? (200 ? 160) ? 120 ? ? ? 由并联电路分流公式得 R2 I1 ? 10A ? ? 6A R1 ? R2 及 I 2 ? 10 ? I1 ? 4A
再由图(a)得
I3 ? I 2 ? 120 ? 1A 360 ? 120

由 KVL 得, U ? U3 ? U1 ? 200I 3 ?100I1 ? ?400V 答案 2.6
1 Rx 1' R
3 r 3'
(a)

R

2 r 2'

10? 2 10? Rx Rx 7.5? 2' (b) 7.5? ...... ??

1 Rx 1'

R
r
(a-1)

Rx

图 2.6 解: (a)设 R 和 r 为 1 级,则图题 2.6(a)为 2 级再加 Rx 。将 2 ? 2? 端 Rx 用始端
1 ? 1? Rx 替代,则变为 4 级再加 R x ,如此替代下去,则变为无穷级。从始端 1 ? 1? 看等

效电阻为 Rx ,从 3 ? 3? 端看为 ? ? 1级,也为 Rx , 则图(a)等效为图(a-1)。 rRx Rx ? R ? r ? Rx 解得
Rx ? ( R ? R 2 ? 4Rr ) / 2 因为电阻为正值,所以应保留正的等效电阻, 即 Rx ? ( R ? R 2 ? 4Rr ) / 2

(1)

(b) 图(b)为无限长链形电路, 所以从 11' 和 22' 向右看进去的等效电阻均为 Rx , 故计算 Rx 的等效电路如图(b-1)所示。参照图(a-1)及式(1)得:
1

10?

Rx
1'

7.5?

Rx

(b-1)

Rx ? ( R ? R 2 ? 4Rr ) / 2

代入数据得:

Rx ?
所以

10 ? 102 ? 4 ?10 ? 7.5 ? ? 15? 2

Rx ? 15?

答案 2.7 解 (a)

电流源 I S 与电阻 R 串联的一端口,其对外作用,可用电流源 I S 等效代

替,如图(a-1);再将电压源与电阻的串联等效成电流源与电阻的串联,如图(a-2);

将两个并联的电流源电流相加得图最简等效电路(a-3)。
1A 10V 5? 1A 2A 5? 3A 5?

(a-1)

(a-2)

(a-3)

(b) 图(b)中与电压源并联的 5? 电阻不影响端口电压、电流。电路的化简过程 如图(b-1)至图(b-3)所示。
10A 50V 50V 100V (b-2) (b-3) 5? 5?

50V

5? 5?

(b-1)

注释:在最简等效电源中最多含两个元件:电压源与串联电阻或电流源与并联 电阻。 答案 2.8 解:(a) (1)将电压源串电阻等效为电流源并电阻,如图(a-1)
+
3A 2? 6A 4V

_ 2?
I

2?

7?

(a-1)

(2)将两并联电流源电流相加,两 2? 电阻并联等效为 1? 电阻,2A 电流源与 2? 电阻并联等效为 4V 电压源与 2? 电阻串联,如图(a-2)
+
9A 1? 4V _ 2? 1?

+

4V _ 2? I

I
7? 9V

7?

(a-2)

(a-3)

(3)再等效成图(a-3),由(a-3)求得 (9 ? 4)V I? ? 0.5A (1 ? 2 ? 3)?

(b) (1) 将电压源串电阻等效为电流源并电阻,电流源并电阻等效成电压源串电阻, 如图(b-1); (2)将两并联受控电流源电流相加,如图(b-2); (3)再将电流源并电阻等效成电压源串电阻,如图(b-3);
I
76V 4Ω
0.5 I

0.6I



I
76V 4Ω (b-2)

(b-1)

I
76V 5Ω 0.5I

0.1I 5Ω 4Ω

(d)

(b-3)

对等效化简后的电路,由 KVL 得 76V ? 0.5I ? (4 ? 5) I I ? 76V / 9.5? ? 8A 答案 2.9 解: (a) 此电路为*衡电桥,桥 30Ω电阻上的电流均为零,将其断开或短接不影响 等效电阻,分别如图(a-1)和(a-2)所示。

由图(a-1)得: (30 ? 40)? R? ? 35? 2 或由图(a-2)得 30? 40? R? ? ? 35? 2 2 (b) 对图(b)电路,将 6Ω和 3Ω并联等效为 2Ω,2Ω和 2Ω并联等效为 1Ω,4Ω 和 4Ω并联等效为 2Ω,得图(b-1)所示等效电路:

0.2? 0.2? 1?
1 ? 3

2? 2? 2? R

2?

4?

2?

R 1?

(b-1)

(b-2)

在图(b-1)中有一*衡电桥,去掉桥(1/3)Ω的电阻,再等效成图(b-2),易求得 ? ? ? ? 1 R ? ? 0.2 ? ? ? 1? 1 1 1? ? ? ? ? ? 2 4 2? 答案 2.10 解:此题有两种解法。 解法一: 由图(a)可以看出, 此图存在*衡电桥。 可将图(a)化为图(b)或(c)的形式。
10? I1
30V
10?

10? 10? I2 10? I1
30V

10? 10? (a)

10? 10?

I2 10?

I1
30V

10? 10?

10? 10? (c)

10?

I2 10?

R

(b)

以图(b)为例计算 图中 1 R ? 10? ? (10 ? 10)? ? 20? 2 30V I1 ? ? 1.5A R 由分流公式得 1 I 2 ? I1 ? 0.75A 2 解法二: 将图中下方的三角形联接等效成星形联接,如图(d)。进一步化简成 图(e)

10?
I1 10? 10 ? 10 3 ? 3 (d) 10 ? 3 I2 I1 30V

10?
5? 10 ? 3 (e) 5 ? 3

30V

10?

由图(e)求得:

30V ? 1.5A (10 ? 10 / 3 ? 5 ? 5 / 3)? 再由图(d)求得: 1 I 2 ? 0.75A ? A ? 0.75A 2 I1 ?
答案 2.11 解:如图所示
I 5 rI 4 R5 m3 R3 m2 R2 I 2 R1 I1 m1 I4 I3




I2 m1 U S I6 R3 I 3 m2 I4

① ③
R4


US R4

I1 R2

IS

R1

④ (a)

③ (b)

(a)对独立节点列 KCL 方程 节点①: I1 ? I 2 ? I5 ? 0 节点②: ? I 2 ? I3 ? I 6 ? 0 节点③: ? I3 ? I 4 ? I5 ? 0 对网孔列 KVL 方程 R1I1 ? R2 I 2 ? U S 网孔 m1 : 网孔 m2 : 网孔 m3:
R3 I3 ? R4 I 4 ? U S R2 I 2 ? R3 I3 ? R5 I5 ? ?rI 4

(b)对独立节点列 KCL 方程 节点①: I1 ? I 2 ? I3 ? I S 节点②: I 2 ? I3 ? I 4 ? 0 对网孔列 KVL 方程,电流源所在支路的电流是已知的,可少列一个网孔的 KVL 方程。 网孔 m1: R1I1 ? R2 I 2 ? R4 I 4 ? U S

网孔 m2 : R2 I 2 ? R3 I3 ? U S 答案 2.12 解:图(a)、(b)为同一电路模型,选取了不同的回路列支路电流方程。图(a)选取 网孔作为回路,网孔 2 和网孔 3 包含电流源,电流源的电压 U 是未知的,对包含电 流源的回路列 KVL 方程时必须将此未知电压列入方程。图(b)所取回路只让回路 3 包含电流源,如果不特别求取电流源电压,可以减少一个方程。 (a) 对节点①列 KCL 方程: ? I1 ? I 2 ? I3 ? 0.1A 对图示网孔列 KVL 方程 网孔 m1: 10?I1 ? 20?I 2 ? 4V 网孔 m2 : 网孔 m3:
?20?I 2 ? 5?? 0.1 ? ?U 5?? 0.1A ? 10?I3 ? U ? 2V

(b) 对节点①列 KCL 方程: ? I1 ? I 2 ? I3 ? 0.1A 对图示回路列 KVL 方程 回路 l1: 10?I1 ? 20?I 2 ? 4V 回路 l 2 : 回路 l 3 :
?20?I 2 ? 10?I3 ? ?2V 5?? 0.1A ? 10?I3 ? U ? 2V

答案 2.13 解:选网孔为独立回路,如图所示
4?
Im2 2? 1? 5? 5V I m3 3? 10V

I

I m1

所列方程如下: ?(1 ? 2 ? 3)?? I m1 ? 2?? I m 2 ? 3?? I m3 ? 10V ? ?2?? I m1 ? (2 ? 4)?? I m 2 ? 5V ? ? ?3?I m1 ? (3 ? 5)?? I m3 ? ?5V ? 联立解得 I m1 ? 2.326A , I m2 ? 1.61A , I m3 ? 1.71A 。 利用回路电流求得支路电流 I ? I m1 ? I m2 ? 0.717A 答案 2.14 解:选如图所示独立回路,其中受控电流源只包含在 l 3 回路中,其回路电流

Il1 ? 10 I1 ,并且可以不用列写该回路的 KVL 方程。回路电流方程如下:
4? 12V

Il 2
3? 2? Il1 I1 5?

10 I1

Il 3
I

6?

(2 ? 3 ? 5)?? Il1 ? (3 ? 5)?? Il 2 ? 5?? Il 3 ? 0 ? ? ??(3 ? 5)?? Il1 ? (3 ? 4 ? 6 ? 5)?? Il 2 ? (5 ? 6)?? Il 3 ? 12V ? Il 3 ? 10 Il1 ? 联立解得 Il1 ? 1A Il 2 ? ?5A Il 3 ? 10A 所求支路电流 I ? Il 2 ? Il 3 ? 5A 答案 2.15 解:适当选取独立回路使受控电流源只流过一个回路电流,如图所示。
0.5? 1? I I m2 I m1 I m3 1? Ix 2?

对图示三个回路所列的 KVL 方程分别为 (0.5 ? 1)?? I m1 ? (0.5 ? 1)?? I m 2 ? 1?? I m3 ? 5V ? ? ?(1 ? 0.5)?? I m1 ? (0.5? ? 1? ? 2? ? 1?) ? I m 2 ? 3?? I m3 ? 0 ? I m3 ? 2 I ? 由图可见,控制量和待求电流支路所在回路均只有一个回路电流经过,即 I m 2 ? I , I m1 ? I x 。这样上式可整理成

(0.5? ? 1?) ? I x ? (0.5? ? 1?) ? I ? 1?? 2 I ? 5V ? ? ?(1? ? 0.5?) ? I x ? (0.5? ? 1? ? 2? ? 1?) ? I ? 3?? 2 I ? 0
解得
I x ? 5A

答案 2.16

10? 8V

U ?

50? I2

I1 40?

?U

解:选图示回路列回路电流方程:

(10 ? 40)?? I1 ? 40?? I 2 ? 8V ? ? ?-40?? I1 ? (40 ? 50)?? I 2 ? ? ? ? 40?? ( I 2 ? I1 )
整理得: 50?? I1 ? 40?? I 2 ? 8V ? ? ??4(1 ? ? )?? I1 ? (9 ? 4? )?? I 2 ? 0 当上述方程系数矩阵行列式为零时,方程无解, 令 50 ?40 ?0 ?4(1 ? ? ) (9 ? 4? ) 得: ? ? ?7.25 答案 2.17 解:图(a)、(b)为同一电路模型,选取了不同的回路列回路电流方程。 (a) 在图(a)中以网孔作为独立回路。电流源的两端电压 U 是未知的,应将其直 接列入回路电流方程: ? (10 ? 20)?? I m1 ? 20?? I m 2 ? 4V ? 10V ? (1) ??20?? I m1 ? (20 ? 15)?? I m 2 ? U ? 10V ? 8?? I m3 ? 2?? I ? U ? 0 ? 补充方程 ? I m 2 ? I m3 ? 0.1 A (2) 将控制量用回路电流来表示: (3) I ? I m1 ? I m 2 将(1)、(2)式代入(3)式,整理得: 30?? I m1 ? 20?? I m 2 ? ?6V ? ? ?20?? I ? 35?? I ? U ? 10V ? m1 m2 ? 2 ?? I ? 2 ?? I ? 8 ?? I m3 ? U ? 0 m1 m2 ? ? ? I m 2 ? I m3 ? 0.1A ? (b) 适当选取独立回路使电流源只流过一个回路电流,如图(b)所示。这样该回 路电流 I m3 便等于电流源 0.1A 。因此减少一个待求的回路电流。对图(b)所示三个回 路所列的 KVL 方程分别为

?(10 ? 20)?? I m1 ? 20?? I m 2 ? 4V ? 10V ? ? 20?? I m1 ? (8 ? 15 ? 20)?? I m 2 ? 8?? I m3 ? 2?? I ? ?10V

(1) (2)

消去控制量: (3) I ? I m1 ? I m 2 补充方程: (4) I m3 ? 0.1A 将式(3)、(4)式代入(1)、(2)式整理得 ? 30?? I m1 ? 20?? I m 2 ? ?6V ? ?18?? I m1 ? 41?? I m 2 ? ?9.2V 答案 2.18 解:以节点①为参考点的各节点电压相对以节点④为参考点的节点电压降低了 ?U ? U n1 ? U n 4 ? 7V 。 则 ?1 ? 0 Un ? 2 ? U n 2 ? ?U ? 5V ? 7V ? ?2V Un ?3 ? U n 3 ? ?U ? 4V ? 7V ? ?3V Un

U n 4 ? U n 4 ? ?U ? 0 ? 7V ? ?7V
答案 2.19 解:已知 U n 4 ? 1V , U14 ? ?3V , U 31 ? ?5V , U 23 ? ?7V 根据 KVL,得 U n1 ? U 1 4 ? Un ? ?? 2V 4 ?3 V? 1 V U34 ? U31 ? U14 ? ?5V ? 3V ? ?8V U n3 ? U34 ? U n 4 ? ?8V ? 1V ? ?7V
U n 2 ? U 23 ? U n3 ? ?7V ? 7V ? ?14V

答案 2.20 解:取节点③为参考节点,对节点①和②列节点电压方程。 ? (1 ? 2)S ? U n1 ? (10 ? 5)A ? ?(3 ? 4)S ? U n 2 ? (5 ? 4)A 解得: U n1 ? 5 / 3V , U n 2 ? 9 / 7V U ? ?U n1 ? U n 2 ? 0.38 V P ? U ? 5 ? 1.9W 答案 2.21

解: 1A 电流源与 20Ω电阻相串联的支路对外作用相当于 1A 电流源的作用。 对 节点①、②列出节点电压方程如下: 节点①: 1 1 1 20V ( ? )U n1 ? U n 2 ? 1A ? 10? 40? 40? 40? 节点②: 1 1 1 1 20V 50V ? U n1 ? ( ? ? )U n 2 ? ? ? 40? 40? 25? 50? 40? 50? 解得 , U n 2 ? 10V U n1 ? 1 4 V 电流源电压 U ? 20??1A ? U n1 ? 34V 电流源发出功率 P ? U ?1A ? 34W 答案 2.22 解:对节点①、②列出节点电压方程如下: 节点①:
( U 1 1 1 1 1 ? ? )U n1 ? ( ? )U n 2 ? I S ? S R1 R2 R3 R2 R3 R2 U 1 1 1 1 1 ? )U n1 ? ( ? ? )U n 2 ? ? S R2 R3 R2 R3 R4 R2

节点②:
?(

答案 2.23 解:对节点①、②、③列出节点电压方程如下: U 1 1 1 1 1 节点①: ( ? ? )U n1 ? U n 2 ? U n3 ? ? S R1 R2 R4 R2 R4 R4 1 1 1 节点②: ? U n1 ? ( ? )U n 2 ? ? ? I R2 R2 R3 U 1 1 1 节点③: ? U n1 ? ( ? )U n3 ? S ? ?I R4 R4 R5 R4 用节点电压表示控制量电流 U I ? ? n1 R1 将式(4)代入式(2)、(3)消去电流 I ,整理得:

(1) (2) (3)

(4)

? 1 U 1 1 1 1 ? )U n1 ? U n 2 ? U n 3 ? ? S ?( ? R2 R4 R4 ? R1 R2 R4 ? 1 ? 1 1 ? ?( ? )U n1 ? ( ? )U n 2 ? 0 ? R2 R1 R2 R3 ? ? U 1 ? 1 1 (? ? )U n1 ? ( ? )U n 3 ? S ? R4 R1 R4 R5 R4 ? ?
答案 2.24 解:(a) 对图(a)电路,选①、②、③节点电压及电流 I 为待求量列 KCL 方程。 1 1 1 1 1 5V 节点①: ( ? ? )U n1 ? U n2 ? U n3 ? ? 1? 2? 0.5? 0.5? 2? 2? 1 1 1 1 节点②: ? U n1 ? ( ? )U n 2 ? U n 3 ? I 0.5? 0.5? 1? 1? 1 1 1 1 5V 节点③: ? U n1 ? U n 2 ? ( ? )U n 3 ? ? 5A 2? 1? 2? 1? 2? 根据电压源特性列补充方程 U n 2 ? 10V 解得 I ? 11A (b) 对图(b)电路,选①、②、③节点电压及电流 I 为待求量列 KCL 方程。
1 1 1 节点① : ( ? ) ? U n1 ? ?U n2 ? ? I 1? 0.5? 0.5? 1 1 1 1 1 节点② : ? ? U n1 ? ( ? ? ) ?U n2 ? ? U n3 ? 0 0.5? 0.5? 2? 1? 1? 1 1 节点③: ? ?U n2 ? ? U n 3 ? I ? 5A 1? 1?

根据电压源特性列补充方程
U n3 ? U n1 ? 5V

解得
I ? 8A

答案 2.25 解: 节点①: (G2 ? G3 )U n1 ? G2U n 2 ? G3U n3 ? I1 ? ?I S 3 节点②: ?G2U n1 ? (G2 ? G5 )U n 2 ? I1 ? I 4 ? 0 节点③: ?G3U n1 ? (G3 ? G6 )U n3 ? I 4 ? I 7 ? I S 3 ? G6U S 6 根据电压源特性列补充方程

U n1 ? U n 2 ? U S1 U n3 ? ?U S 7 根据电阻元件特性方程 I 4=G4 (U n3 ? U n 2 )

答案 2.26 解:如图所示
5? I1 I l1 2U 5? Il 3 10? 20V


2A

? U 5?

Il 2

I2 10? ③



解法一:用节点电压法 1 1 1 1 1 2U 20V 节点① : ( ? ? )U n1 ? U n2 ? U n3 ? ? ? 5? 5? 10? 5? 10? 5? 10? 1 1 1 1 2U 节点②: ? U n1 ? ( ? )U n 2 ? U n3 ? ? 2A 5? 5? 5? 5? 5? 1 1 1 1 1 20V 节点③: ? U n1 ? U n2 ? ( ? ? )U n 3 ? ? 10? 5? 10? 10? 5? 10? 用节点电压表示控制量电压 U n 2 ? U n3 ? U 解得
10 40 V,U n 2 ? 35V,U n3 ? V 3 3 U ? U n3 13 7 I2 ? n2 ? A , I1 ? I 2 ? 2A ? A, 5? 3 3 解法二:用回路电流法,取回路如图所示。 回路 l1 : (5 ? 5 ? 10 ? 5)?Il1 ? (5 ? 10)?Il 2 ? (5 ? 10)?Il 3 ? 2U U n1 ?

(1) (2) (3)

(4)

(1) (2)

回路 l 2 : Il 2 ? 2 A 回路 l 3 : ?( 5 ? 1 0 ? ) I l1 ? 1 0 ? Il 2 用回路电流表示控制量 U ? ( Il1 ? Il 2 ) ? 5? 将(4)式代入(1)式,解得
? (5 ? 1? 0 I 1 ? 0) ? l3 20V

(3) (4)

7 A , I l 3 ? 3A 3 7 13 I1 ? I l1 ? A, I 2 ? I l1 ? I l 2 ? A 3 3 答案 2.27 解:列节点电压方程: 1 1 1 1.2V ( ? )U n1 ? U n3 ? 1k? 4k? 4k? 1k? 1 1 1 ( ? )U n 2 ? U n3 ? 0 4k? 2k? 2k? 由运算放大器的端口特性,得 U n1 ? U n 2 I l1 ?

解得
U n1 ? 48 72 V ? 1.371V,U n3 ? V ? 2.057V 35 35

答案 2.28 解:列节点电压方程: 1 1 1 1 1V ? ? ( 2k? ? 4k? ? 4k? )U n1 ? 4k? U n 2 ? 2k? ? 1 1 1 ? 1 U n1 ? ( ? )U n 2 ? U n3 ? 0 ?? 4k ? 4k ? 10k ? 10k ? ? 1 1 1 ? ? U n2 ? ( ? )U n 3 ? I o ? 10k? 10k? 5k? ? 由运算放大器端口特性得, Un2 ? 0 解得: I o ? ?0.375A 答案 2.29 解:设运放输出端电流为 I o 。如图所示,列节点电压方程:

1 1 1 1 ? 1 ( ? ? )U n1 ? U n2 ? U n3 ? 0 ? ? 20k? 40k? 25k? 25k? 20k? ? ?? 1 U ? ( 1 ? 1 )U ? U i ? 20k? n1 10k? 20k? n 3 10k? ? 由运算放大器端口特性得 U n3 ? 0
解得
U o ? U n 2 ? ?5.75Ui , 即U o Ui ? ?5.75

答案 2.30 解:列节点电压方程:

1 1 1 1 1 ? ( ? ? )U n1 ? U n2 ? U n 4 ? 2mA ? 5k? 20k? 10k? 10k? 20k? ? 1 1 1 1 1 1 ? U n1 ? ( ? ? )U n 2 ? U n3 ? U n4 ? 0 ?? 10kΩ 10kΩ 25kΩ 25kΩ 10kΩ ? 10k? 1 1 1 1 ? ? U n1 ? U n2 ? ( ? )U n 4 ? 0 ? 20kΩ 10k? 20k? 10k? ? 由运算放大器端口特性,得 Un4 ? 0 解得 U n1 ? 5V, U n 2 ? ?2.5V U o ? U n3 ? ?27.5V 答案 2.31 解:由题意可知,此 4 输入单输出的数模转换器输出电压与输入电压的关系即 为一个加法器,输入端所接电阻分别为 20 R、 21 R、 22 R、 23 R ,反馈电阻为 R 。 根据加法器电路,此电路可设计如下图所示。
u1 u2 u3 R
1 R 2
1 R 8
1 R 4

R

u4

+

+

? U ?




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