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八年级数学下册第1章直角三角形1.2直角三角形的性质和判定Ⅱ教学课件新版湘教版

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教学课件
数学 八年级下册 湘教版

第1章 直角三角形
1.2 直角三角形的性质和判定(Ⅱ)

本课节内容 1.2

直角三角形的性质 和判定( Ⅱ )

如图, S1 + S2 =S3 , 即BC2 +AC2 =AB2 , 那么是否 对所有的直角三角形,都有两直角边的*方和等于斜边 的*方呢?

探究 如图,任作一个Rt△ABC,∠C= 90°,若
BC= a,AC= b,AB= c,那么a2 + b2 = c2 ,是 否成立呢?

我们来进行研究. 步骤1 先剪出4个如图1-11 的直角三角形, 由
于每个直角三角形的两直角边长为a,b(其中 b > a),因此它们全等(SAS),所以它们的
斜边长相等. 设斜边长为c.
图1-11

步骤2 再剪出1 个边长为c 的正方形,如图1-12. 图1-12

步骤3 把步骤1和步骤2中剪出来的图形拼成 如图1-13的图形.
∵△DHK≌△EIH, ∴ ∠2 =∠4. 又∵ ∠1 +∠2 = 90°, ∴ ∠1 +∠4 = 90°.
图1-13

又∵∠KHI = 90°, ∴ ∠1 +∠KHI +∠4 = 180°, 即点D,H,E 在一条直线上. 同理,点E,I,F在一条直线上;点 F ,J,G 在一条直 线上; 点G ,K,D 在一条直线上. 因此拼成的图形是正方形DEFG, 它的边长为(a + b),它的面积为 (a + b)2 .
图1-13

又∵正方形DEFG 的面积为c2 + 4·1 ab ,
2
∴(a b)2 c2 4 1 ab.
2
即 a2+2ab+ b2 = c2 +2ab , ∴ a2+ b2 = c2 .
图1-13

结论 由此得到直角三角形的性质定理:
直角三角形的两直角边a,b的*方和,等于斜边c的*方. a2+ b2 = c2

其实我国早在三千多年前就已经知道直角三

角形的上述性质,由于古人称直角三角形的直角 边中较短的一边为勾,较长的一边为股,斜边为

弦(如图1-14),因此这一性质被称为勾股定理.

勾股定理揭示了直角三角形三

边之间的关系. 在直角三角形中,



若已知直角三角形任意两条边长,

我们可以根据勾股定理,求出第三

边的长.


股 图1-14

例1 如图1-15,在等腰三角形ABC 中,已知AB = AC = 13 cm,BC = 10 cm,AD⊥BC 于点D. 你能算出

BC边上的高AD的长吗? 解 :在△ABC中,

∵ AB = AC = 13 ,BC = 10 ,AD⊥BC,



BD

=

1 BC 2

=

5.

在Rt△ADB中,由勾股定理,得

AD2+BD2 =AB2 ,

图1-15

∴ AD AB2 BD2 132 52 18 8 12 .

故AD的长为12 cm.

练* 在Rt△ABC中,∠C= 90°. (1) 已知a = 25,b = 15,求c; (2) 已知a = 5,c = 9,求b; (3) 已知b = 5,c=15,求a.
答案:(1)c= 5 34 ;(2)b 2 14 ;(3)a 10 2 .

动脑筋 如图1-16,电工师傅把4 m长的梯子AC 靠在
墙上,使梯脚C 离墙脚B 的距离为1.5 m,准备在 墙*沧暗绲. 当他爬上梯子后,发现高度不够, 于是将梯脚往墙脚*0.5 m,即移 动到C′处. 那么梯子顶端是否往上 移动0.5 m 呢?
图1-16

由图1-16 抽象出示意图1-17. 在Rt△ABC 中,计算出AB; 再 在Rt△ABC中, 计算出 AB , 则可得出梯子往上移动的距离为 ( AB -AB)m.

图1-17

在Rt△ABC中,AC=4 m,BC=1.5 m,

由勾股定理,得 AB 42 1.52 13.75 3.71(m).

在Rt△ ABC中,AC= 4 m,BC = 1 m, 故 AB 42 12 15 3.87(m).
因此 AA = 3.87 - 3.71 = 0.16(m).
即梯子顶端A点大约向上移动了0.16 m,而不是向上 移动0.5 m.

例2 (“引葭赴岸” 问题) “今有方池一丈,葭生其 中央, 出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐. 问水深, 葭长各几何?” 意思是:有一个边长为10 尺的 正方形池塘,一棵芦苇生长在池的中央,其出水 部分为1 尺. 如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉 向岸边,它的顶端恰好碰到池边的水面. 问:水深 与芦苇长分别为多少?
宋刻《九章算术》书影

解:如图1-18,设水池的深度为x 尺, 则AC = x 尺, AB = AB′=(x + 1)尺.
因为正方形池塘的边长为10尺, 所以 B′C = 5尺. 在Rt△ACB′中, 根据勾股定理,得 x2 + 52 =(x+ 1)2, 解得 x=12. 则x + 1 =13. 答:水池的深度为12尺,芦苇长为13尺.

图1-18

练*
1. 如图,一艘渔船以30 海里/时 的速度由西向东追赶 鱼群. 在A 处测得小岛C 在船的北偏东60°方向;40 min 后,渔船行至B 处,此时测得小岛C 在船的北偏 东30°方向. 已知以小岛C 为中心,周围10 海里以内 有暗礁,问:这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触 礁的危险?

解:过点C作CD⊥AB,垂足为D, 由题意,得AB=30×4600 2(0 海里). 在Rt△CBD中,∠BCD=30°, BC=AB=20海里,∴ BD=10海里.
D
∴ CD = CB2 - BD2 = 202 - 102
= 10 (3 海里)> 1(0 海里).
QCD的距离不在以点C为中心,周围10 海里范围内, ∴轮船不会触礁.

2. 如图,AE 是位于公路边的电线杆,高为12 m, 为了使电线CDE 不影响汽车的正常行驶,电力 部门在公路的另一边竖立了一根高为6 m的水泥 撑杆BD,用于撑起电线.已知两根杆子之间的距 离为8 m,电线CD 与水*线AC 的夹角为60°. 求电线CDE 的总长L(A,B,C 三点 在同一直线上,电线杆、水泥杆的粗 细忽略不计).

解:在下图中,过点D作DM⊥AE,垂足为M. 易知四边形MABD为矩形,所以MA=BD=6 m, 所以ME=EA-MA=12-6=6(m). 在Rt△EMD中,由勾股定理,得
DE EM 2 DM 2 62 82 10(m).
M

在Rt△DBC中,∠CDB=30°,

设BC=x,则DC=2x. 由勾股定理,得x2+62=(2x)2 ,

解得 x= 2 3.

所以L= ED+CD=10+ 4 3 (m).

M

我们已经知道勾股定理:“直角三角形两直角 边a,b 的*方和,等于斜边c的*方.” 那么这个定 理的逆命题成立吗?

探究 如图1-19,在△ABC 中,AB = c,BC = a,AC = b,
且a2+ b2 =c2 , 那么△ABC是直角三角形吗?

如果我们能构造一个直角三角 形, 然后证明△ABC 与所构造的 直角三角形全等, 即可得△ABC
是直角三角形.

图1-19

如图1-20,作Rt △ABC ,使∠C = 90°, BC= a,AC = b. 在Rt △ ABC中, 根据勾股定理,得
AB 2= a2+ b2 . ∵ a2+ b2 = c2 ,

∴ AB2 = c2.

∴ AB= c.

图1-20

在△ABC和△ABC 中, ∵ BC = BC = a,AC = AC = b,

AB = AB= c,

∴ △ABC≌△ ABC.

∴ ∠C =∠C= 90°.

先构造满足某些条件的

∴ △ABC是直角三角形. 图形,再根据所求证的图

形与所构造图形之间的关系,

完成证明,这也是常用的问

题解决策略.

结论
由此得到直角三角形的判定定理:
如果三角形的三条边长a,b,c 满足关系:a2 b2 c2 , 那么这个三角形是直角三角形.
上述定理被称为勾股定理的逆定理.

例3 判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形. (1)a = 6,b = 8,c = 10; (2)a = 12,b = 15,c = 20.
分析 根据勾股定理的逆定理, 判断一个三角形是不 是直角三角形, 只要看两条较短边长的*方和是否 等于最长边的*方.

解 (1) ∵ 62 + 82 = 100, 102 = 100, ∴ 62 + 82 = 102. ∴这个三角形是直角三角形.
(2) ∵ 122 + 152 = 369, 202 = 400, ∴ 122 + 152≠202. ∴ 这个三角形不是直角三角形. 满足a2+ b2 = c2的三个 正整数称为勾股数.

例4 如图1-21,在△ABC 中,已知AB = 10,BD = 6,

AD = 8,AC = 17. 求DC的长. 解 在△ABD中,AB = 10,BD = 6,AD = 8,

∵ 62 + 82 = 102 , 即AD2 + BD2 = AB2 ,

∴ △ADB为直角三角形.

∴ ∠ADB = 90°. ∴ ∠ADC = 180°-∠ADB = 90°.

图1-21

在Rt△ADC中,DC2 = AC2 - AD2 , ∴ DC 172 82 15.

练*
1. 判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形. (1) a = 8,b = 15,c = 17; (2) a = 10,b = 24,c = 25; (3) a = 4,b = 5, c = 41 .
答:(1)是 ; (2)不是; (3)是.

2. 如图,在边长为4的正方形ABCD中,F为CD的中点,

E是BC上一点,

且EC=

1 4

BC.

求证: △AEF是直角三角形.

证明:由已知可得 DF=CF=2,

EC=1,BE=3. 在Rt△ADF中,由勾股定理,得

AF2 = DF2 +AD2 =22+42=20.

同理可得 AE2 =25, EF2 =5. 在△AEF中,因为AE2 = AF2 + EF2 , 所以△ AEF是直角三角形.

例 如图,在Rt△ABD中,∠D=90°,C为AD上一点,

则x可能是( B ).

A.10°

B.20°

C.30°

D.40°

分析 此题题目中除了直角并未给出任何其他角的具体 度数,因此要求出x的值,只能大致估计其范围, 再在选项中选择可能的取值.
解 因为6x>90,所以x >15. 又6x<180,所以x<30. 故选B.




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